Question

3．如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，经过椭圆的左顶点A（-3，0）作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于点D，交y轴与点E．
（1）求椭圆C的方程；　
（2）已知P为线段AD的中点，OM∥l，并且OM交椭圆C于点M．
（i）是否存在定点Q，对于任意的k（k≠0）都有OP⊥EQ，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（ii）求$\frac{|AD|+|AE|}{|OM|}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的离心率及左顶点坐标，能求出a，b，由此能求出椭圆方程．
（2）（i）直线l的方程为y=k（x+3），与椭圆联立，得（x+3）[（9k²+1）x+27k²-3]=0，由此利用韦达定理、直线垂直，结合题意能求出结果．
（ii）OM的方程可设为y=kx，由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1}\\{y=kx}\end{array}\right.$，得M点的横坐标为x=$±\frac{3}{\sqrt{1+9{k}^{2}}}$，由OM∥l，把$\frac{|AD|+|AE|}{|OM|}$转化为点的横坐标的关系求得答案．

解答 解：（1）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，左顶点A（-3，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{2}}{3}}\\{a=3}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=3，b=1，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1$．
（2）（i）直线l的方程为y=k（x+3），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1}\\{y=k（x+3）}\end{array}\right.$，得（9k²+1）x²+54k²x+81k²-9=0，
整理，得：（x+3）[（9k²+1）x+27k²-3]=0，
∴${x}_{1}=-3，{x}_{2}=\frac{-27{k}^{2}+3}{9{k}^{2}+1}$，
当x=$\frac{-27{k}^{2}+3}{9{k}^{2}+1}$时，y=$\frac{6k}{9{k}^{2}+1}$，
∴D（$\frac{3-27{k}^{2}}{1+9{k}^{2}}$，$\frac{6k}{1+9{k}^{2}}$），
∵点P为AD的中点，∴P的坐标为（$\frac{-27{k}^{2}}{1+9{k}^{2}}，\frac{3k}{1+9{k}^{2}}$），
∴${k}_{OP}=-\frac{1}{9k}$，（k≠0），
直线l的方程为y=k（x+3），令x=0，得E（0，3k），
假设存在定点Q（m，n），（m≠0），使得OP⊥EQ，
则k_OPk_EQ=-1，即-$\frac{1}{9k}•\frac{n-3k}{m}=-1$恒成立，
∴（9m+3）k-n=0恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{9m+3=0}\\{-n=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{1}{3}}\\{n=0}\end{array}\right.$，
∴定点Q的坐标为Q（-$\frac{1}{3}$，0）．
（ii）∵OM∥l，∴OM的方程可设为y=kx，
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1}\\{y=kx}\end{array}\right.$，得M点的横坐标为x=$±\frac{3}{\sqrt{1+9{k}^{2}}}$，
由OM∥l，得$\frac{|AD|+|AE|}{|OM|}$=$\frac{|{x}_{D}-{x}_{A}|+|{x}_{E}-{x}_{A}|}{|{x}_{M}|}$
=$\frac{{x}_{D}-2{x}_{A}}{{x}_{M}}$=$\frac{\frac{3-27{k}^{2}}{1+9{k}^{2}}+6}{\frac{3}{\sqrt{1+9{k}^{2}}}}$=$\frac{3+9{k}^{2}}{\sqrt{1+9{k}^{2}}}$=$\sqrt{1+9{k}^{2}}+\frac{2}{\sqrt{1+9{k}^{2}}}$$≥2\sqrt{2}$，
当且仅当$\sqrt{1+9{k}^{2}}$=$\frac{2}{\sqrt{1+9{k}^{2}}}$，即k=$±\frac{1}{3}$时取等号，
∴当k=$±\frac{1}{3}$时，$\frac{|AD|+|AE|}{|OM|}$的最小值为2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的定点是否存在的判断与求法，考查代数式的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、直线垂直、椭圆性质的合理运用．