Question

18．已知抛物线C：y=$\frac{1}{2}$x²与直线l：y=kx-1（k为常数）没有公共点，设点P为直线l上的动点，且P的横坐标为x₀，Q（k，1）为定点
（1）求抛物线C的准线方程；
（2）若点P与定点Q的连线交抛物线C于M，N两点，求证：|PM|•|ON|=|PN|•|QM|

Answer 1

分析 （1）求出抛物线的标准方程为x²=2y，由此能求出抛物线C的准线方程．
（2）P（x₀，kx₀-1），PQ的方程为y=$\frac{k{x}_{0}-2}{{x}_{0}-k}$（x-k）+1，与抛物线方程y=$\frac{1}{2}$x2联立，得x²-$\frac{2k{x}_{0}-4}{{x}_{0}-k}$x+$\frac{（2{k}^{2}-2）{x}_{0}-2k}{{x}_{0}-k}$=0，由此利用韦达定理能证明|PM|•|ON|=|PN|•|QM|．

解答 解：（1）∵抛物线C：y=$\frac{1}{2}$x²，
∴抛物线的标准方程为x²=2y，
∴$\frac{p}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴抛物线C的准线方程为y=-$\frac{1}{2}$．
证明：（2）∵直线l：y=kx-1（k为常数），设点P为直线l上的动点，且P的横坐标为x₀，Q（k，1）为定点，
∴P（x₀，kx₀-1），
PQ的方程为y=$\frac{k{x}_{0}-2}{{x}_{0}-k}$（x-k）+1，
与抛物线方程y=$\frac{1}{2}$x2联立，消去y，得
x²-$\frac{2k{x}_{0}-4}{{x}_{0}-k}$x+$\frac{（2{k}^{2}-2）{x}_{0}-2k}{{x}_{0}-k}$=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=$\frac{2k{x}_{0}-4}{{x}_{0}-k}$，x₁x₂=$\frac{（2{k}^{2}-2）{x}_{0}-2k}{{x}_{0}-k}$，①
要证|PM|•|ON|=|PN|•|QM|，只需证明2x₁x₂-（k+x₀）（x₃+x₄）+2kx₀=0，②
把①代入②：
2x₁x₂-（k+x₀）（x₃+x₄）+2kx₀
=$\frac{2（2{k}^{2}-2）{x}_{0}-4k}{{x}_{0}-k}$-（x+x₀）•$\frac{2k{x}_{0}-4}{{x}_{0}-k}$+2kx₀
=$\frac{2（2{k}^{2}-2）{x}_{0}-4k-（k+{x}_{0}）（2k{x}_{0}-4）+2k{x}_{0}（{x}_{0}-k）}{{x}_{0}-k}$=0，
∴|PM|•|ON|=|PN|•|QM|．

点评 本题考查抛物线的准线方程的求法，考查两组线段乘积相等的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意抛物线性质、韦达定理的合理运用．