Question

7．已知椭圆$\frac{x^2}{4}$+y²=1，A，B，C，D为椭圆上四个动点，且AC，BD相交于原点O，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），满足$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}$=$\frac{1}{5}$．
（Ⅰ）证明：$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow 0$；
（Ⅱ）求直线AB的斜率，并求出四边形ABCD面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分别连接AB，BC，CD，AD，推导出四边形ABCD为平行四边形，由此能证明$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{CD}$=0．
（Ⅱ）由已知得4y₁y₂=x₁x₂，设直线AB的方程为y=kx+m，由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x+8kmx+4（m²-1）=0，由韦达定理、根的判别式、点到直线的距离公式先求出△AOB的最大值，由此能求出四边形ABCD面积最大值．

解答 证明：（Ⅰ）分别连接AB，BC，CD，AD，
因为AC，BD相交于原点O，根据椭圆的几何对称可知，AC，BD互相平分且原点O是它们的中点，
则四边形ABCD为平行四边形，
故$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{CD}$=0．…（2分）
解：（Ⅱ）因为$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}$=$\frac{1}{5}$，所以4y₁y₂=x₁x₂．
由题可知直线AB的斜率一定存在，
设直线AB的方程为y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x+8kmx+4（m²-1）=0，
△＞0，x₁+x₂=$\frac{-8km}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4（{m}^{2}-1）}{1+4{k}^{2}}$，…（6分）
因为4y₁y₂=x₁x₂，又y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=${k}^{2}{{x}_{1}{x}_{2}+km（{x}_{1}+{x}_{2}）+m}^{2}$，
所以$（4{k}^{2}-1）{x}_{1}{x}_{2}+4km（{x}_{1}+{x}_{2}）+4{m}^{2}=0$，
整理得$4{k}^{2}=1，k=±\frac{1}{2}$，…（8分）
不妨设${k}_{AB}=-\frac{1}{2}$，则$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=2m}\\{{x}_{1}{x}_{2}=2（{m}^{2}-1）}\end{array}\right.$，…（10分）
设原点到直线AB的距离为d，
则${S}_{△AOB}=\frac{1}{2}$|AB|d=$\frac{1}{2}\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₂-x₁|$•\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{{m}^{2}（2-{m}^{2}）}$≤1，
当m²=1时，S_{四边珙ABCD}=4S_△AOB≤4，
∴四边形ABCD面积最大值为4．…（12分）

点评 本题考查两向量和为0的证明，考查四边形的面积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、根的判别式、点到直线的距离公式的合理运用．