Question

13．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且以原点为圆心，椭圆的焦距为直径的圆与直线x•sinθ+y•cosθ-1=0相切（θ为常数）．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）如图，若椭圆C的左、右焦点分别为F₁，F₂，过F₂的直线l与椭圆分别交于两点M、N，求$\overrightarrow{{F}_{1}M}$•$\overrightarrow{{F}_{1}N}$的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，以原点为圆心，椭圆的焦距为直径的圆与直线x•sinθ+y•cosθ-1=0相切，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程
（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，推导出$\overrightarrow{{F}_{1}M}•\overrightarrow{{F}_{1}N}$=$\frac{7}{2}$．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1），由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$，得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，利用韦达定理、向量知识，结合题意能求出$\overrightarrow{{F}_{1}M}$•$\overrightarrow{{F}_{1}N}$的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
且以原点为圆心，椭圆的焦距为直径的圆与直线x•sinθ+y•cosθ-1=0相切，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{\frac{1}{\sqrt{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}}=c}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，
解得a=$\sqrt{2}$，b=1，
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，l⊥x轴，方程为x=1，M（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），N（1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴$\overrightarrow{{F}_{1}M}$=（2，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），$\overrightarrow{{F}_{1}N}$=（2，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），∴$\overrightarrow{{F}_{1}M}•\overrightarrow{{F}_{1}N}$=$\frac{7}{2}$．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1），
则由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$，得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{k}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$，
$\overrightarrow{{F}_{1}M}=（{x}_{1}+1，{y}_{1}）$，$\overrightarrow{{F}_{1}N}$=（x₂+1，y₂），
则$\overrightarrow{{F}_{1}M}•\overrightarrow{{F}_{1}N}$=（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=（x₁+1）（x₂+1）+k（x₁-1）•k（x₂-1）
=（1+k²）x₁x₂+（1-k²）（x₁+x₂）+1+k²，
代入韦达定理得：
$\overrightarrow{{F}_{1}M}•\overrightarrow{{F}_{1}N}$=$\frac{2（{k}^{4}-1）}{2{k}^{2}+1}$+$\frac{4{k}^{2}-4{k}^{4}}{2{k}^{2}+1}$+k²+1=$\frac{7{k}^{2}-1}{2{k}^{2}+1}$=$\frac{7}{2}-\frac{\frac{9}{2}}{2{k}^{2}+1}$，
由k²≥0，得$\overrightarrow{{F}_{1}M}$•$\overrightarrow{{F}_{1}N}$∈[-1，$\frac{7}{2}$）．
综上，$\overrightarrow{{F}_{1}M}$•$\overrightarrow{{F}_{1}N}$的取值范围是[-1，$\frac{7}{2}$]．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查向量的数量积的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、向量知识、椭圆性质的合理运用．