Question

【题目】对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0 ， 则称x0是f（x）的一个不动点．
（1）若函数f（x）=2x+ ﹣5，求此函数的不动点；
（2）若二次函数f（x）=ax2﹣x+3在x∈（1，+∞）上有两个不同的不动点，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）=2x+ ﹣5，

由f（x）=x，即x+ ﹣5=0，

即为x2﹣5x+4=0，解得x=1和4，

则此函数的不动点为1，4

（2）解：二次函数f（x）=ax2﹣x+3在x∈（1，+∞）上有两个不同的不动点，

即为ax2﹣2x+3=0在x∈（1，+∞）上有两个不等的实根，

当a＞0时，△=4﹣12a＞0，且a﹣2+3＞0， ＞0，解得0＜a＜ ；

当a＜0，由于对称轴x= ＜0，在x∈（1，+∞）上没有两个不等的实根，不成立．

综上可得，0＜a＜ ．

则实数a的取值范围为（0， ）

【解析】（1）由定义可得f（x）=x，解方程即可得到所求不动点；（2）由题意可得ax2﹣2x+3=0在x∈（1，+∞）上有两个不等的实根，讨论a＞0或a＜0和判别式大于0，对称轴介于x=1的右边，x=1的函数值大于0，解不等式即可得到所求范围．
【考点精析】通过灵活运用二次函数的性质，掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小即可以解答此题．