Question

已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（-12，-15），则E的方程式为

x2

4

-

y2

5

=1

．

Answer 1

分析：利用点差法求出直线AB的斜率，再根据P（3，0）是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（-12，-15），可建立方程组，从而可求双曲线的方程．

解答：解：由题意，不妨设双曲线的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)
∵P（3，0）是E的焦点，∴c=3，∴a²+b²=9．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则有：

x12

a2

-

y12

b2

=1①；

x22

a2

-

y22

b2

=1②
由①-②得：

y1-y2

x1-x2

=

b2(x1+x2)

a2(y1+y2)

∵AB的中点为N（-12，-15），
∴

y1-y2

x1-x2

=

4b2

5a2

又AB的斜率是

-15-0

-12-3

=1
∴

4b2

5a2

=1，即4b²=5a²
将4b²=5a²代入a²+b²=9，可得a²=4，b²=5
∴双曲线标准方程是

x2

4

-

y2

5

=1
故答案为：

x2

4

-

y2

5

=1

点评：本题考查双曲线的标准方程，考查点差法解决弦的中点问题，考查学生的计算能力，解题的关键是利用点差法求出直线AB的斜率．