Question

已知圆C经过点A（1，3）、B（2，2），并且直线m：3x-2y=0平分圆C．
（1）求圆C的方程；
（2）若过点D（0，1），且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的交点M、N．
（Ⅰ）求实数k的取值范围；
（Ⅱ）（文科不做）若

OM

•

ON

=12，求k的值．

Answer 1

分析：（1）设圆C的标准方程为（x-a）²+（y-b）²=r²．由圆C被直线平分可得3a-2b=0，结合点A、B在圆上建立关于a、b、r的方程组，解出a、b、r的值即可得到圆C的方程；
（2）（I）由题意，得直线l方程为kx-y+1=0，根据直线l与圆C有两个不同的交点，利用点到直线的距离建立关于k的不等式，解之即可得到实数k的取值范围；
（II）直线l方程与圆C方程联解消去y，得（1+k²）x²-（4+4k）x+7=0．设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），利用根与系数的关系、直线l方程和向量数量积的坐标运算公式，化简

OM

•

ON

=12得到关于k的方程，解之即可得到k的值．

解答：解：（1）设圆C的标准方程为（x-a）²+（y-b）²=r²
∵圆C被直线m：3x-2y=0平分，∴圆心C（a，b）在直线m上，可得3a-2b=0…①，
又∵点A（1，3）、B（2，2）在圆上，∴

(1-a)2+(3-b)2=r2 (2-a)2+(2-b)2=r2

…②，
将①②联解，得a=2，b=3，r=1．
∴圆C的方程是（x-2）²+（y-3）²=1；
（2）过点D（0，1）且斜率为k的直线l方程为y=kx+1，即kx-y+1=0，
（I）∵直线l与圆C有两个不同的交点M、N，
∴点C（2，3）到直线l的距离小于半径r，
即

|2k-3+1|

k2+1

＜1，解之得

4- 7

3

＜k＜

4+ 7

3

；
（II）由

y=kx+1 (x-2)2+(y-3)2=1

消去y，得（1+k²）x²-（4+4k）x+7=0．
设直线l与圆C有两个不同的交点坐标分别为M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
可得x₁+x₂=

4+4k

1+k2

，x₁x₂=

7

1+k2

，
∴y₁y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=

7k2

1+k2

+

4k+4k2

1+k2

+1，
∵

OM

•

ON

=

7

1+k2

+（

7k2

1+k2

+

4k+4k2

1+k2

+1）=12，解之得k=1．

点评：本题着重考查了圆的标准方程、直线的方程、直线与圆的位置关系、向量的坐标运算公式和一元二次方程根与系数的关系等知识，属于中档题．