Question

已知圆C经过点A（1，4）、B（3，-2），圆心C到直线AB的距离为

10

，求圆C的方程．

Answer 1

分析：解法I：设圆心C（a，b），半径为r，圆C经过点A（1，4）、B（3，-2），圆心C到直线AB的距离为

10

，由垂径定理可得，圆心与直线AB的中点M的连线长度为

10

，且与AB垂直，由此建立关于a，b，r的方程组，进而得到圆C的方程．
解法II：由已知中圆C经过点A（1，4）、B（3，-2），我们由垂径定理得到C点在AB的中垂线上，可设C点坐标为C（3b-1，b），进而根据圆心C到直线AB的距离为

10

，构造方程求出b值，进而求出圆的半径，得到圆C的方程．

解答：解：法Ⅰ：设圆心C（a，b），半径为r
易见线段AB的中点为M（2，1）…（2分）
∵CM⊥AB，kAB=

-2-4

3-1

=-3
∴kCM=

b-1

a-2

=

1

3

即：3b=a+1①…（5分）
又∵|CM|=

10

∴（a-2）²+（b-1）²=10②…（8分）
联立①②得

a=-1 b=0

或

a=5 b=2

即C（-1，0）或C（5，2）…（10分）
∴r²=|CA|²=20
故圆的方程为：（x+1）²+y²=20或（x-5）²+（y-2）²=20…（12分）
法Ⅱ：∵A（1，4）、B（3，-2）
∴直线AB的方程为：3x+y-7=0…（2分）
∵线段AB的中点为M（2，1）
∴圆心C落在直线AB的中垂线：x-3y+1=0上．…（4分）
不妨设C（3b-1，b）…（5分）
∴

|3(3b-1)+b-7|

32+12

=

10

…（8分）
解得b=0或b=2
即C（-1，0）或C（5，2）…（10分）∴r²=|CA|²=20
故圆的方程为：（x+1）²+y²=20或（x-5）²+（y-2）²=20…（12分）

点评：本题考查的知识点是直线和圆的方程的应用，其中根据圆C经过点A（1，4）、B（3，-2），得到圆心在AB的中垂线上，是解答本题的关键．