Question

16．已知数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=a_n+$\frac{1}{{n}^{2}+n}$，则a_n=$\frac{3}{2}-\frac{1}{n}$．

Answer 1

分析 利用累加法以及裂项消项法求解即可．

解答 解：a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=a_n+$\frac{1}{n（1+n）}$=a_n+$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
可得a₁=$\frac{1}{2}$，
a₂=a₁+1-$\frac{1}{2}$，
a₃=a₂+$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，
a₄=a₃+$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，
…
a_n=a_n-1+$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$，
把上述n个式子相加可得：a_n=$\frac{1}{2}+1-\frac{1}{n}$=$\frac{3}{2}-\frac{1}{n}$．
故答案为：$\frac{3}{2}-\frac{1}{n}$．

点评 本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和以及通项公式的求法，考查计算能力．