Question

设函数f(x)=x³+ax²+bx(x＞0)的图象与直线y=4相切于M(1，4)。
（Ⅰ）求f(x)=x³+ax²+bx在区间(0，4]上的最大值与最小值；
（Ⅱ）设存在两个不等正数s，t(s＜t)，当x∈[s，t]时，函数f(x)=x³+ax²+bx的值域是[ks，kt]，求正数k的取值范围。

Answer 1

解：（Ⅰ）f′(x)=3x2+2ax+b， 依题意，有：，即， 解得：, 所以，f(x)=x3-6x2+9x， f′(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3)， 由f′(x)=0可得x=1或x=3， f′(x)，f(x)在区间(0，4]上的变化情况为： x 0 （0，1） 1 （1，3） 3 （3，4） 4 f′(x)   + 0 - 0 +   f(x) 0 增函数 4 减函数 0 增函数 4 所以函数f(x)=x3-6x2+9x在区间（0，4]上的最大值是4，最小值是0。 （Ⅱ）由函数的定义域是正数知，s＞0，故极值点(3，0)不在区间[s，t]上； ①若极值点M(1，4)在区间[s，t]上，此时0＜s≤1≤t＜3， 故有(i)或(ii)， (i)由k=，1≤t＜3知，k∈(，4]，当且仅当t=1时，k=4； 再由k=(s-3)2，0＜s≤1知，k∈[4，9)，当且仅当s=1时，k=4； 由于s≠t，故不存在满足要求的k值． (ii)由，及0＜s≤1可解得2≤t＜3， 所以k=，2≤t＜3知，k∈(，2]； 即当k∈(，2]时，存在t=∈[2，3)，∈(0，1]， 且f(s) ≥4s=f(t) ＞f(t)，满足要求。 ②若函数f(x)在区间[s，t]上单调递增，则0＜s＜t＜1或3＜s＜t，且， 故s，t是方程x2-6x+9=k的两根， 由于此方程两根之和为3，故[s，t]不可能同在一个单调增区间内； ③若函数f(x)在区间[s，t]上单调递减，则1＜s＜t＜3，， 两式相减并整理得s2(s-3)3=t2(t-3)2， 由1＜s＜t＜3知s(s-3)=t(t-3)，即s+t=3， 再将两式相减并除以s-t，得 -k=(s2+st+t2)-6(s+t)+9=(s+t)2-6(s+t)+9-st=-st，即k=st， 所以s，t是方程x2-3x+k=0的两根， 令g(x)=x2-3x+k， 则， 解得2＜k＜，即存在s=，t=满足要求。 综上可得，当＜k＜时，即k∈（，）时，存在两个不等正数s，t(s＜t)，使x∈[s，t]时，函数f(x)=x3-6x2+9x的值域恰好是[ks，kt]。