【题目】是否存在常数a,b,c,使等式N+都成立,并证明你的结论.
【答案】见解析
【解析】
令n=1得①, 令n=2得
②,
令n=3得③, 解①、②、③得a=3,b=11,c=10,记原式的左边为Sn,用数学归纳法证明猜想
下面用数学归纳法证明:对于一切正整数n,(*)式都成立.
(1)当n=1时,由上述知,(*)成立.
(2)假设n=k(k≥1)时,(*)成立,
即122+232+…+k(k+1)2
(3k2+11k+10),
那么当n=k+1时,
122+232+…+k(k+1)2+(k+1)(k+2)2
(3k2+11k+10)+(k+1)(k+2)2
(3k2+5k+12k+24)
[3(k+1)2+11(k+1)+10],
由此可知,当n=k+1时,(*)式也成立.
综上所述,当a=3,b=11,c=10时题设的等式对于一切正整数n都成立.
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【题目】已知点,求:
(1)过点与原点距离为2的直线
的方程;
(2)过点与原点距离最大的直线
的方程,最大距离是多少?
(3)是否存在过点与原点距离为6的直线?若存在,求出方程;若不存在,请说明理由.
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【题目】将棋盘的每个方格都随意染黑白两色之一,每次操作是将其中同行、同列、同对角线的连续五个方格改变成相反的颜色.试问:能否经过有限次操作,使得所有方格的颜色都变成与原先相反的颜色?
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【题目】椭圆的左、右焦点分别为
,
,椭圆上一点
与
,
的距离之和为
,且焦距是短轴长的2倍.
(1)求椭圆的方程;
(2)过线段上一点的直线
(斜率不为0)与椭圆相交于
,
两点,当
的面积与
的面积之比为
时,求
面积的最大值.
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【题目】某英语初学者在拼写单词“”时,对后三个字母的记忆有些模糊,他只记得由“
”、“
”、“
”三个字母组成并且字母“
”只可能在最后两个位置中的某一个位置上
如果该同学根据已有信息填入上述三个字母,那么他拼写正确的概率为
A. B.
C.
D.
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【题目】椭圆的左、右焦点分别为
、
,离心率为
,过焦点
且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.
Ⅰ
求椭圆C的方程;
Ⅱ
点
为椭圆C上一动点,连接
,
,设
的角平分线PM交椭圆C的长轴于点
,求实数m的取值范围.
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【题目】记为数列
的前
项和.“任意正整数
,均有
”是“
为递增数列”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
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