Question

【题目】将棋盘的每个方格都随意染黑白两色之一，每次操作是将其中同行、同列、同对角线的连续五个方格改变成相反的颜色.试问：能否经过有限次操作，使得所有方格的颜色都变成与原先相反的颜色？

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

当时，目标可以实现；当时，目标不可以实现.

（1）如果，可由5是质数，不妨设，则棋盘可划分为若干个的矩形，对每一个的矩形操作一次即可.

（2）如果，可设，（、）.

将棋盘的方格用1、2、3、4、5编号，使每一行每一列的数都构成周期为5的周期数列，其左上角棋盘的编号如图.

因为图中每行、每列的数都是以5为周期的周期数列，所以，同行、同列、同对角线的连续5个数都恰好包含1、2、3、4、5各1个.故每次操作都使每一类编号的方格中恰有一个方格改变了一次颜色.

用表示编号为的方格颜色改变的次数和（），则每次操作，各同时增加1，于是，操作中恒有.

若所有方格的颜色都变成与原先颜色相反，则每个方格颜色改变的次数为奇数.

考察棋盘左上角子棋盘的编号，对任何、（、），在子棋盘中一定存在一个编号与一个编号（、），使得出现的次数比出现的次数多一次（逐一验证子棋盘即可）.

去掉此子棋盘，则棋盘的剩余部分各编号出现的次数相等.于是，整个棋盘中编号、的个数一个为奇数、一个为偶数.由于每个方格都改变奇数次颜色，从而，、一个为奇数个奇数的和、一个为偶数个奇数的和，也即、一为奇数、一为偶数.于是，，矛盾.

故不可能所有方格的颜色都变成与原先相反的颜色.