Question

【题目】如下图，过抛物线上一定点，作两条直线分别交抛物线于，．

（1）求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点的距离；

（2）当与的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线的斜率是非零常数．

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

(1)由抛物线定义可知抛物线上一点到焦点距离等于到准线距离，即可求出结果

(2)将点坐标代入抛物线方程，分别计算出直线与的斜率，由题意得倾斜角互补，则斜率互为相反数，即可计算出结果，然后计算出直线的斜率

（1）当时，，又抛物线的准线方程为，

由抛物线定义得，所求距离为.

（2）设直线的斜率为，直线的斜率为，

由，，相减得

，

故．

同理可得．

由、倾斜率角互补知，

即.

∴，故.

设直线的斜率为，由，，

相减得.

∴．

将代入得，

所以是非零常数．