【题目】(本小题满分13分) 已知双曲线的两个焦点为
的曲线C上.
(Ⅰ)求双曲线C的方程;
(Ⅱ)记O为坐标原点,过点Q(0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F,若△OEF的面积为求直线l的方程
【答案】(Ⅰ) 双曲线方程为(Ⅱ) 满足条件的直线l有两条,基方程分别为y=
和y=
【解析】
试题(1)由双曲线焦点可得值,进而可得到
的关系式,将点P代入双曲线可得到
的关系式,解方程组可求得
值,从而确定双曲线方程;(2)求直线方程采用待定系数法,首先设出方程的点斜式,与双曲线联立,求得相交的弦长和O到直线的距离,代入面积公式可得到直线的斜率,求得直线方程
试题解析:(1)由已知及点
在双曲线
上得
解得;所以,双曲线
的方程为
.
(2)由题意直线的斜率存在,故设直线
的方程为
由 得
设直线
与双曲线
交于
、
,则
、
是上方程的两不等实根,
且
即
且
①
这时 ,
又
即
所以 即
又
适合①式
所以,直线的方程为
与
.
另解:求出及原点
到直线
的距离
,利用
求解. 或求出直线
与
轴的交点
,利用
求解
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【题目】已知椭圆的左右焦点分别为
,
上的动点
到两焦点的距离之和为4,当点
运动到椭圆
的上顶点时,直线
恰与以原点
为圆心,以椭圆
的离心率为半径的圆相切.
(1)求椭圆的方程;
(2)设椭圆的左右顶点分别为
,若
交直线
于
两点.问以
为直径的圆是否过定点?若过定点,请求出该定点坐标;若不过定点,请说明理由.
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【题目】如下图,过抛物线上一定点
,作两条直线分别交抛物线于
,
.
(1)求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点
的距离;
(2)当与
的斜率存在且倾斜角互补时,求
的值,并证明直线
的斜率是非零常数.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),以原点
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
(限定
).
(1)写出曲线的极坐标方程,并求
与
交点的极坐标;
(2)射线与曲线
与
分别交于点
(
异于原点),求
的取值范围.
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【题目】已知由自然数组成的元集合
,非空集合
,且对任意的
,都有
.
(1)当时,求所有满足条件的集合
;
(2)当时,求所有满足条件的集合
的元素总和;
(3)定义一个集合的“交替和”如下:按照递减的次序重新排列该集合的元素,然后从最大数开始交替地减、加后继的数.例如集合的交替和是
,集合
的交替和为
.当
时,求所有满足条件的集合
的“交替和”的总和.
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【题目】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)=若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元。设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。
(Ⅰ)求k的值及f(x)的表达式。
(Ⅱ)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值。
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