Question

【题目】已知椭圆的左右焦点分别为， 上的动点到两焦点的距离之和为4，当点运动到椭圆的上顶点时，直线恰与以原点为圆心，以椭圆的离心率为半径的圆相切.

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆的左右顶点分别为，若交直线于两点.问以为直径的圆是否过定点？若过定点，请求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）.（2）， .

【解析】试题分析：（1）由椭圆定义可知， ，由原点到直线的距离求出，得到椭圆的标准方程；（2）设， ，则， ，由，得，求出M,N的坐标，因为，故以为直径的圆与轴交于两点，在以为直径的圆中应用相交弦定理求出，从而以为直径的圆恒过两个定点， .

试题解析：（1）由椭圆定义可知， ，

直线，

故，

∴，

故椭圆的标准方程为： .

（2）设，点，则， ，

由，得： ，

直线方程为： ，令，则，故；

直线方程为： ，令，则，故；

因为，故以为直径的圆与轴交于两点，设为，

在以为直径的圆中应用相交弦定理得：

，

因为，所以，

从而以为直径的圆恒过两个定点， .