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    【题目】选修4－4：坐标系与参数方程

    已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为 (为参数)

    写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

    (2)设曲线经过伸缩变换后得到曲线，设为上任意一点，

    求的最小值，并求相应的点的坐标.

    【答案】（1），直线方程为 （2）见解析.

    【解析】试题分析：（1）因为极径为2，故曲线的直角坐标方程为，消去直线中的参数可以得到直线的普通方程为.（2）通过坐标间的对应关系可以得到曲线的直角坐标方程为，其参数方程为，因此，可利用三角函数的知识求出该解析式何时取何最小值.

    解析：（1），故圆的方程为.直线的参数方程为， 直线方程为.

    （2）由和得： .设点为，则，所以当或时，原式的最小值为.

    练习册系列答案
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    【题目】已知椭圆的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线的焦点.

    （1）求椭圆的方程；

    （2）已知、是椭圆上的两点，是椭圆上位于直线两侧的动点.

    ①若直线的斜率为，求四边形面积的最大值；

    ②当运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值，请说明理由.

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    【题目】已知函数， .

    （1）若曲线在处的切线方程为，求实数的值；

    （2）设，若对任意两个不等的正数，都有恒成立，求实数的取值范围；

    （3）若在上存在一点，使得成立，求实数的取值范围.

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    【题目】如图，在三棱柱中， 平面， ， .

    （1）证明：平面平面；

    （2）若四棱柱的体积为，求该三棱柱的侧面积.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表如下，频率分布直方图如图：

    分组

    频数

    频率

    [10，15）

    10

    0.25

    [15，20）

    24

    n

    [20，25）

    m

    p

    [25，30）

    2

    0.05

    合计

    M

    1

    （1）求出表中M，p及图中a的值；

    （2）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10，15）内的人数；

    （3）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25，30）内的概率．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表如下，频率分布直方图如图：

    分组

    频数

    频率

    [10，15）

    10

    0.25

    [15，20）

    24

    n

    [20，25）

    m

    p

    [25，30）

    2

    0.05

    合计

    M

    1

    （1）求出表中M，p及图中a的值；

    （2）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10，15）内的人数；

    （3）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25，30）内的概率．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】以下三个关于圆锥曲线的命题中：

    ①设为两个定点，为非零常数，若,则动点的轨迹是双曲线；

    ②方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；

    ③双曲线与椭圆有相同的焦点；

    ④已知抛物线，以过焦点的一条弦为直径作圆，则此圆与准线相切，其中真命题为__________．（写出所有真命题的序号）

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    【题目】已知椭圆的左右焦点分别为， 上的动点到两焦点的距离之和为4，当点运动到椭圆的上顶点时，直线恰与以原点为圆心，以椭圆的离心率为半径的圆相切.

    （1）求椭圆的方程；

    （2）设椭圆的左右顶点分别为，若交直线于两点.问以为直径的圆是否过定点？若过定点，请求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.

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    【题目】已知由自然数组成的元集合，非空集合,且对任意的，都有.

    (1)当时，求所有满足条件的集合;

    (2)当时，求所有满足条件的集合的元素总和;

    (3)定义一个集合的“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该集合的元素，然后从最大数开始交替地减、加后继的数.例如集合的交替和是，集合的交替和为.当时，求所有满足条件的集合的“交替和”的总和.

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