Question

【题目】椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上一点与，的距离之和为，且焦距是短轴长的2倍.

（1）求椭圆的方程；

（2）过线段上一点的直线（斜率不为0）与椭圆相交于，两点，当的面积与的面积之比为时，求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由题意结合椭圆的定义可得，再由、求得后，即可得解；

（2）转化条件得直线过定点，设直线的方程为，，，联立方程组利用韦达定理可得的面积，换元后利用二次函数的性质即可得解.

（1）由题可知，.

又，所以，

所以，所以，解得或（舍去），

从而椭圆的方程为；

（2）由题意可得，，

因为的面积与的面积之比为1：3，所以直线过定点，

设直线的方程为，，，

联立得，，

所以，，

所以的面积

.

设，则，

所以，

所以当时，最大，最大值为，

所以面积的最大值为.