Question

【题目】对于集合和常数，定义：为集合相对的“余弦方差”.

（1）若集合，，求集合相对的“余弦方差”；

（2）求证：集合相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，并求此定值；

（3）若集合，，，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，求出、.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析，定值；（3），或，

【解析】

由“余弦方差”的定义,对（1）（2）（3）逐个求解或证明即可.

（1）依题意：；

（2）由“余弦方差”定义得：，

则分子

为定值，与的取值无关.

（3），

分子

.

要使是一个与无关的定值,则,

,

与终边关于轴对称或关于原点对称,

又,

得与终边只能关于轴对称,

,

又，，

则当时,;

当时,.

，或，.

故，或，时,相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值.