Question

如图，在长方体中,，点在棱上移动，小蚂蚁从点沿长方体的表面经棱爬到点，所爬的最短路程为。

（1）求的长度；

（2）求证：⊥；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

（3）在线段上是否存在点，使得二面角的大小为。若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解析：（Ⅰ）设，∵四边形是正方形，

∴小蚂蚁从点沿长方体的表面经爬到点

如图1的最短路程为 ，                                   

 。            4分

（Ⅱ）(几何法)证明：方法一:连结，由长方体的性质可知：⊥平面，

∵平面,  ∴⊥  ，    6分

又∵，∴⊥，         

, ∴⊥平面,       8分

平面,∴⊥   。       9分

方法二:连结，由长方体的性质可知：⊥平面，    

∴是在平面内的射影。            w.w.w.k.s.5.u.c.o.m                         2分

又∵，∴⊥，∴⊥（三垂线定理） 。       5分

（Ⅲ）假设存在连结，设，

过点在平面内作⊥，连结，

则为二面角的平面角，，                11分

在内，，而，

即，解得，即存在点，且与点距离为时，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

二面角的大小为。 -----14分

解法二：（1）同解法一            4分

(向量法)（Ⅰ1）如图建立空间坐标系，

设  ，则，

，。

，

 。                   9分

（Ⅲ）假设存在，平面的法向量，，          10分

设平面的法向量，则即，

取，解得：，                           12分

由题意得：，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

解得：（舍去），

即存在点，且与点距离为时，二面角的大小为。        14分