Question

【题目】已知函数．

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）若函数在 上是减函数，求实数的取值范围；

（3）令，是否存在实数，当（是自然对数的底数）时，函数的最小值是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】试题分析：（1）欲求在点处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
（2）先对函数进行求导，根据函数在[1，2]上是减函数可得到其导函数在[1，2]上小于等于0应该恒成立，再结合二次函数的性质可求得的范围．
（3）先假设存在，然后对函数进行求导，再对的值分情况讨论函数在（0，e]上的单调性和最小值取得，可知当=e2能够保证当时有最小值3．

试题解析：

(1)当时，

所以，

所以曲线在点处的切线方程为.

（2）因为函数在上是减函数，

所以在[1,3]上恒成立.

令,有，得

故.

（3）假设存在实数a，使有最小值3，

①时， ，所以在上单调递减，

， （舍去）

②当时， 在上恒成立， 所以在上单调递减， （舍去）

③当时，令，得，

所以在上单调递减，在上单调递增

所以， ，满足条件

综上，存在实数，使得 时， 有最小值3．