【题目】已知函数
(1)函数,若
是
的极值点,求
的值并讨论
的单调性;
(2)函数有两个不同的极值点,其极小值为为
,试比较
与
的大小关系,并说明理由.
【答案】(1),在
单调递减,在
单调递增(2)
【解析】试题分析:(1)求出函数的导数,根据
解出
的值,从而确定
的表达式,进而求出单调区间;(2)对
求导,
有两个不同的极值点,即方程
在
有两个不同的实根,运用判别式和韦达定理,可得到
,列表求出
的单调区间和最值,即可得出
,再通过构造
,运用导数可知函数
在
单调递减,从而得出
.
试题解析:(1)
,
,
因为是
的极值点,所以
,得
,
,
此时
,
,
当时,
;当
时,
.
所以在
单调递减,在
单调递增.
(2)
,
,
因为有两个不同的极值点,所以
在
有两个不同的实根,设此两根为
,
,且
.
则,即
,解得
.
与
随
的变化情况如下表:
由表可知
,
因为,所以
代入上式得:
,所以
,
因为,且
,所以
.
令,则
,
当时,
,即
在
单调递减,
所以当时,有
,
即.
点睛:本题考查导数的综合应用求单调性和极值,考查函数的单调性及运用,极值点的个数与方程根的关系,属于中档题.极值点的个数问题经常与导函数在定义域内的方程根个数相互转化,一元二次方程在有两个不同的实根,等价转化为判别式大于
,韦达定理写出两根和与积,分别大于
即可.
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【题目】已知函数.
(1)若,求曲线
在点
处的切线方程;
(2)若函数在
上是减函数,求实数
的取值范围;
(3)令,是否存在实数
,当
(
是自然对数的底数)时,函数
的最小值是
?若存在,求出
的值;若不存在,说明理由.
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【题目】某中学高二年级开设五门大学先修课程,其中属于数学学科的有两门,分别是线性代数和微积分,其余三门分别为大学物理,商务英语以及文学写作,年级要求每名学生只能选修其中一科,该校高二年级600名学生各科选课人数统计如下表:
其中选修数学学科的人数所占频率为0.6,为了了解学生成绩与选课情况之间的关系,用分层抽样的方法从这600名学生中抽取10人进行分析.
(1)求和
的取值以及抽取的10人中选修商务英语的学生人数;
(2)选出的10名学生中恰好包含甲乙两名同学,其中甲同学选修的是线性代数,乙同学选修的是大学物理,现从线性代数和大学物理两个学科中随机抽取3人,求这3人中正好有甲乙两名同学的概率.
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【题目】在棱长均相等的正四棱锥中,
为底面正方形的重心,
分别为侧棱
的中点,有下列结论:
①平面
;②平面
平面
;③
;
④直线与直线
所成角的大小为
.
其中正确结论的序号是__________.(写出所有正确结论的序号)
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【题目】选修4-5:不等式选讲
已知函数f(x)=|2x+3|+|2x﹣1|.
(Ⅰ)求不等式f(x)<8的解集;
(Ⅱ)若关于x的不等式f(x)≤|3m+1|有解,求实数m的取值范围.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ+3ρsin2θ=0,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l过点M(1,0),倾斜角为.
(Ⅰ)求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程;
(Ⅱ)若曲线C经过伸缩变换后得到曲线C′,且直线l与曲线C′交于A,B两点,求|MA|+|MB|.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,ABCD是正方形,O是正方形的中心,PO⊥底面ABCD,E是PC的中点.
.求证:(Ⅰ)PA∥平面BDE;(Ⅱ)平面PAC⊥平面BDE;(III)若PB与底面所成的角为600, AB=2a,求三棱锥E-BCD的体积.
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