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    【题目】已知函数．

    （1）求函数的图象在处的切线方程；

    （2）证明：对任意的，都有；

    （3）设，比较与的大小，并说明理由．

    【答案】（1）；（2）见解析；（3）.

    【解析】试题分析：（1）利用导数的几何意义进行求解；（2）分别对不等式两段构造函数，利用导数研究两函数的单调性和最值，证明即可；（3）先等价化简，再作差构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值即可判定.

    试题解析：（1）因为，

    所以， ，

    又因为，所以切点为

    故所求的切线方程为： ，即.（2）因为，故在上是增加的，在上是减少的

    ，

    设，则，故在上是增加的，

    在上是减少的，故，

    .

    所以对任意的恒成立.

    （3），

    ，

    ∵，∴，故只需比较与的大小，

    令，设，

    则.

    因为，所以，所以函数在上是增加的

    故.

    所以对任意恒成立.即，从而有.

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