Question

【题目】平面直角坐标系中，椭圆： 的离心率为，过椭圆右焦点作两条互相垂直的弦，当其中一条弦所在直线斜率为0时，两弦长之和为6.

（1）求椭圆的方程；

（2）是抛物线： 上两点，且处的切线相互垂直，直线与椭圆相交于两点，求弦的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）3.

【解析】试题分析：（1）利用椭圆的离心率，以及两弦长之和为6，求出、，即可求椭圆的方程；（2）设直线， ， ，通过联立直线与抛物线的方程、韦达定理、以及切线互相垂直，可得，即直线过抛物线的焦点，再联立直线与椭圆的方程，利用弦长公式可得最值.

试题解析：（1）设椭圆方程为，由题意，得 ，解得 ，则该椭圆的标准方程为；

（2）设直线， ， ，

由，得： ，故， ，

由，得，

故切线的斜率分别为， ，

再由，得，即，

故，这说明直线过抛物线的焦点.

由，得，

从而，

当且仅当取等号.