Question

【题目】设函数，其中．

（1）若函数为偶函数，求实数的值；

（2）求函数在区间上的最大值；

（3）若方程有且仅有一个解，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）0；（2）时，最大值为0， 时，最大值为；（3）

【解析】试题分析：（1）根据偶函数的性质得到，从而得到参数值；（2）根据函数表达式知道在和时均为开口向上的二次函数的一部分，直接比较， ， 中的较大值即可；（3）可化为有且仅有一个解，分类讨论，去掉绝对值，变量分离，转化为求值域问题即可。

（1）由是上偶函数，可得，则，则，

此时，是上的偶函数，满足题意．

（2）

在和时均为开口向上的二次函数的一部分，

因此最大值为， ， 中的较大值，

， ， ，

由，则最大值为， 中的较大值，

则时，最大值为0， 时，最大值为．　

（3）可化为，

时等号成立，则为一解，由方程仅有一解可得时方程无解，

时， 无解，即无解， 时， 取值范围为，则无解时；

时， 无解，即无解， 时， 取值范围，则无解时．综上， ．