【题目】已知函数.
(Ⅰ)若f(1)=0,求函数f(x)的最大值;
(Ⅱ)令,讨论函数g(x)的单调区间;
(Ⅲ)若a=2,正实数x1,x2满足证明
【答案】(1)f(x)的最大值为f(1)=0.(2)见解析(3)见解析
【解析】试题分析:(Ⅰ)代入求出值,利用导数求出函数的极值,进而判断最值;(Ⅱ)求出,求出导函数,分别对参数分类讨论,确定导函数的正负,得出函数的单调性;(Ⅲ)整理方程,观察题的特点,变形得,故只需求解右式的范围即可,利用构造函数,求导的方法求出右式的最小值.
试题解析:(Ⅰ)因为,所以a=-2,此时f(x)=lnx-x2+x,
f'(x)=-2x+1,
由f'(x)=0,得x=1,
∴f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
故当x=1时函数有极大值,也是最大值,所以f(x)的最大值为f(1)=0.
(Ⅱ)g(x)=f(x)-ax2-ax+1,
∴g(x)=lnx-ax2-ax+x+1 ,
当a=0时,g'(x)>0,g(x)单调递增;
当a>0时,x∈(0,)时,g'(x)>0,g(x)单调递增;x∈(,+∞)时,g'(x)<0,g(x)单调递减;
当a<0时,g'(x)>0,g(x)单调递增;
(Ⅲ)当a=2时,f(x)=lnx+x2+x,x>0,.
由f(x1)+f(x2)+x1x2=0,即
lnx1+x12+x1+lnx2+x22+x2+x2x1=0.
从而(x1+x2)2+(x1+x2)=x1x2-ln(x1x2),.
令t=x2x1,则由φ(t)=t-lnt得,φ'(t)=.
可知,φ(t)在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增.所以φ(t)≥1,
所以(x1+x2)2+(x1+x2)≥1,正实数x1,x2,
∴.
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【题目】有2名老师,3名男生,3名女生站成一排照相留念,在下列情况中,各有多少种不同站法?
(1)3名男生必须站在一起;
(2)2名老师不能相邻;
(3)若3名女生身高都不等,从左到右女生必须由高到矮的顺序站.(最终结果用数字表示)
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【题目】已知函数,函数.
(1)若函数, 的最小值为-16,求实数的值;
(2)若函数在区间上是单调减函数,求实数的取值范围;
(3)当时,不等式的解集为,求实数的取值范围.
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【题目】(2017届高三第二次湖北八校文数试卷第16题)祖暅(公元前5~6世纪)是我国齐梁时代的数学家,是祖冲之的儿子.他提出了一条原理:“幂势既同,则积不容异.”这里的“幂”指水平截面的面积,“势”指高.这句话的意思是:两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体体积相等.设由椭圆所围成的平面图形绕轴旋转一周后,得一橄榄状的几何体
(如图)(称为椭球体),课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的做法,请类比此法,求出椭球体体积,其体积等于______ .
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【题目】某知名品牌汽车深受消费者喜爱,但价格昂贵。某汽车经销商退出三种分期付款方式销售该品牌汽车,并对近期100位采用上述分期付款的客户进行统计分析,得到如下的柱状图。已知从三种分期付款销售中,该经销商每销售此品牌汽车1辆所获得的利润分别是1万元,2万元,3万元。现甲乙两人从该汽车经销商处,采用上述分期付款方式各购买此品牌汽车一辆。以这100 位客户所采用的分期付款方式的频率代替1位客户采用相应分期付款方式的概率。
(Ⅰ)求甲乙两人采用不同分期付款方式的概率;
(Ⅱ)记(单位:万元)为该汽车经销商从甲乙两人购车中所获得的利润,求的分布列和期望。
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【题目】某项考试按科目A、科目B依次进行,只有当科目A成绩合格时,才可继续参加科目B的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会,两个科目成绩均合格方可获得证书.现某人参加这项考试,科目A每次考试成绩合格的概率均为,科目B每次考试成绩合格的概率均为.假设各次考试成绩合格与否均互不影响.
(1)求他不需要补考就可获得证书的概率;
(2)在这项考试过程中,假设他不放弃所有的考试机会,记他参加考试的次数为,求的分布列及数学期望E.
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