Question

【题目】（本小题满分12分） 设函数

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）令＜≤，其图像上任意一点P处切线的斜率≤恒成立，求实数的取值范围；

（3）当时，方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围。

Answer 1

【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为；（2）；（3）或；

【解析】试题分析：（1）由题可知，求导后，利用导数大于零，原函数递增，导数小于零，原函数递减，即可得到单调区间；（2）由导数的几何意义可求得其斜率为，根据≤恒成立，得到，由二次函数对称轴法得出最大值为，即；（3）由题可知，要使方程在区间上有唯一实数解，只需有唯一实数解，根据导数法判断其单调性，进而解得；

试题解析：（1）由题可知，的定义域为，）当时，，对其求导得，，令，解得此时，于是当时，，当时，，所以单调增区间为，单调减区间为；

，于是有在上恒成立，所以，当时，取最大值，所以；

当时，，由得，又，于是，要使方程在区间上有唯一实数解，只需有唯一实数解，令，于是，由，得，由，得，于是在区间上是增函数，在区间上是减函数，，故；