【题目】一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度成正比,与它的厚度
的平方成正比,与它的长度
的平方成反比.
(Ⅰ)将此枕木翻转90°(即宽度变为厚度),枕木的安全负荷会如何变化?为什么?(设翻转前后枕木的安全负荷分别为且翻转前后的比例系数相同都为
)
(Ⅱ)现有一根横断面为半圆(已知半圆的半径为)的木材,用它来截取成长方体形的枕木,其长度为10,问截取枕木的厚度为
多少时,可使安全负荷
最大?
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【题目】已知、
分别是椭圆
的左、右焦点,点
是椭圆
上一点,且
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线与椭圆
相交于
,
两点,若
,其中
为坐标原点,判断
到直线
的距离是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
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【题目】平面直角坐标系中,椭圆
:
的离心率为
,过椭圆右焦点
作两条互相垂直的弦,当其中一条弦所在直线斜率为0时,两弦长之和为6.
(1)求椭圆的方程;
(2)是抛物线
:
上两点,且
处的切线相互垂直,直线
与椭圆
相交于
两点,求弦
的最大值.
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【题目】为了了解青少年的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关,现对30名青少年进行调查,得到如下列联表:
常喝 | 不常喝 | 总计 | |
肥胖 | 2 | ||
不肥胖 | 18 | ||
总计 | 30 |
已知从这30名青少年中随机抽取1名,抽到肥胖青少年的概率为.
(1)请将列联表补充完整;(2)是否有99.5%的把握认为青少年的肥胖与常喝碳酸饮料有关?
独立性检验临界值表:
P(K2≥k0) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
参考公式:,其中n=a+b+c+d.
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【题目】已知函数(
为常数,
是自然对数的底数),曲线
在点
处的切线方程是
.
(1)求的值;(2)求
的单调区间;
(3)设(其中
为
的导函数)。证明:对任意
,
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【题目】(本小题满分12分) 设函数
(1)当时,求函数
的单调区间;
(2)令<
≤
,其图像上任意一点P
处切线的斜率
≤
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)当时,方程
在区间
内有唯一实数解,求实数
的取值范围。
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