【题目】如图,已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,且∠DAB=60°,AD=AA1,F为棱BB1的中点,M为线段AC1的中点.
(1)求证:直线MF∥平面ABCD;
(2)求证:平面AFC1⊥平面ACC1A1.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;
【解析】试题分析:(1)延长C1F交CB的延长线于点N,连接AN.,由三角形的中位线的性质可得MF∥AN ,从而证明MF∥平面ABCD.
(2)由直四棱柱性质得A1A⊥平面ABCD,从而A1A⊥BD,由菱形性质推知AC⊥BD,所以BD⊥平面ACC1A1.又NA∥BD.易证得结论.
试题解析:
(1)延长C1F交CB的延长线于点N,连接AN.
∵F是BB1的中点,
∴F为C1N的中点,B为CN的中点.
又∵M是线段AC1的中点,
∴MF∥AN.
又∵MF平面ABCD,AN平面ABCD,
∴MF∥平面ABCD.
(2)连接BD,由直四棱柱ABCD-A1B1C1D1可知,A1A⊥平面ABCD,
又∵BD平面ABCD,
∴A1A⊥BD.
∵四边形ABCD为菱形,
∴AC⊥BD.
又∵AC∩A1A=A,AC、A1A平面ACC1A1,
∴BD⊥平面ACC1A1.
在四边形DANB中,DA∥BN,且DA=BN,
∴四边形DANB为平行四边形,
∴NA∥BD,
∴NA⊥平面ACC1A1.
又∵NA平面AFC1,
∴平面AFC1⊥平面ACC1A1.
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【题目】(2017届高三第二次湖北八校文数试卷第16题)祖暅(公元前5~6世纪)是我国齐梁时代的数学家,是祖冲之的儿子.他提出了一条原理:“幂势既同,则积不容异.”这里的“幂”指水平截面的面积,“势”指高.这句话的意思是:两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体体积相等.设由椭圆所围成的平面图形绕
轴旋转一周后,得一橄榄状的几何体
(如图)(称为椭球体),课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的做法,请类比此法,求出椭球体体积,其体积等于______ .
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【题目】某知名品牌汽车深受消费者喜爱,但价格昂贵。某汽车经销商退出三种分期付款方式销售该品牌汽车,并对近期100位采用上述分期付款的客户进行统计分析,得到如下的柱状图。已知从
三种分期付款销售中,该经销商每销售此品牌汽车1辆所获得的利润分别是1万元,2万元,3万元。现甲乙两人从该汽车经销商处,采用上述分期付款方式各购买此品牌汽车一辆。以这100 位客户所采用的分期付款方式的频率代替1位客户采用相应分期付款方式的概率。
(Ⅰ)求甲乙两人采用不同分期付款方式的概率;
(Ⅱ)记(单位:万元)为该汽车经销商从甲乙两人购车中所获得的利润,求
的分布列和期望。
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【题目】如图所示,M、N、P分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB、BC、DD1上的点.
(1)若,求证:无论点P在DD1上如何移动,总有BP⊥MN;
(2)棱DD1上是否存在这样的点P,使得平面APC1⊥平面ACC1?证明你的结论.
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【题目】如图,在四棱锥中,底面
是直角梯形,侧棱
底面
,
垂直于
和
,
,
,
是棱
的中点.
(Ⅰ)求证: 平面
;
(Ⅱ)求平面与平面
所成的二面角的余弦值;
(Ⅲ)设点是直线
上的动点,
与平面
所成的角为
,求
的最大值.
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【题目】已知函数是定义在
上的奇函数.
(1)求的解析式;
(2)证明:函数在定义域上是增函数;
(3)设是否存在正实数
使得函数
在
内的最小值为
?若存在,求出
的值;若存在,请说明理由.
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【题目】某项考试按科目A、科目B依次进行,只有当科目A成绩合格时,才可继续参加科目B的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会,两个科目成绩均合格方可获得证书.现某人参加这项考试,科目A每次考试成绩合格的概率均为,科目B每次考试成绩合格的概率均为
.假设各次考试成绩合格与否均互不影响.
(1)求他不需要补考就可获得证书的概率;
(2)在这项考试过程中,假设他不放弃所有的考试机会,记他参加考试的次数为,求
的分布列及数学期望E
.
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