【题目】如图,在四棱锥中,底面
是直角梯形,侧棱
底面
,
垂直于
和
,
,
,
是棱
的中点.
(Ⅰ)求证: 平面
;
(Ⅱ)求平面与平面
所成的二面角的余弦值;
(Ⅲ)设点是直线
上的动点,
与平面
所成的角为
,求
的最大值.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ);(Ⅲ)
.
【解析】 试题分析:(1)以点为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,求得平面
的一个法向量
,由
,即可证明
平面
;
(2)易知平面的一个法向量为
,设平面
与平面
所成的二面角为
,求得
,即可求得平面
与平面
所成的二面角的余弦值.
(3)设,则
,平面
的一个法向量为
,取得
的表达式,利用二次函数的性质,即可求解
的最大值.
试题解析:
(Ⅰ)以点为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则
,
,
,
,
,
,
∴,
,
,
设平面的一个法向量为
,
则∴
令
,得
.
∵,
∴,∴
平面
.
(Ⅱ)易知平面的一个法向量为
,设平面
与平面
所成的二面角为
,
易知,则
,∴
,
所以平面与平面
所成的二面角的余弦值为
.
(Ⅲ)设,则
,易知平面
的一个法向量为
,
∴,
当,即
时,
取得最大值,且
.
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【题目】设椭圆:
的左、右焦点分别为
,上顶点为
,过
与
垂直的直线交
轴负半轴于
点,且
恰好是线段
的中点.
(1)若过三点的圆恰好与直线
相切,求椭圆
的方程;
(2)在(1)的条件下, 是椭圆
的左顶点,过点
作与
轴不重合的直线
交椭圆
于
两点,直线
分别交直线
于
两点,若直线
的斜率分别为
,试问:
是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
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【题目】已知圆关于直线
对称的圆为
.
(1)求圆的方程;
(2)过点作直线
与圆
交于
两点,
是坐标原点,是否存在这样的直线
,使得在平行四边形
中
?若存在,求出所有满足条件的直线
的方程;若不存在,请说明理由.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),以坐标原点
为极点,
轴的正半轴为极轴,与直角坐标系
取相同的单位长度建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)化曲线的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;
(2)设曲线与
轴的一个交点的坐标为
,经过点
作斜率为1的直线,直线
交曲线
于
两点,求线段
的长.
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【题目】如图,已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,且∠DAB=60°,AD=AA1,F为棱BB1的中点,M为线段AC1的中点.
(1)求证:直线MF∥平面ABCD;
(2)求证:平面AFC1⊥平面ACC1A1.
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【题目】2015年8月12日天津发生危化品重大爆炸事故,造成重大人员和经济损失.某港口组织消防人员对该港口的公司的集装箱进行安全抽检,已知消防安全等级共分为四个等级(一级为优,二级为良,三级为中等,四级为差),该港口消防安全等级的统计结果如下表所示:
现从该港口随机抽取了家公司,其中消防安全等级为三级的恰有20家.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)按消防安全等级利用分层抽样的方法从这家公司中抽取10家,除去消防安全等级为一级和四级的公司后,再从剩余公司中任意抽取2家,求抽取的这2家公司的消防安全等级都是二级的概率.
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【题目】已知椭圆的离心率为
,且过点
.
(Ⅰ)求椭圆的方程.
(Ⅱ)若,
是椭圆
上两个不同的动点,且使
的角平分线垂直于
轴,试判断直线
的斜率是否为定值?若是,求出该值;若不是,说明理由.
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【题目】在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c已知ccosB+(b-2a)cosC=0
(1)求角C的大小
(2)若c=2,a+b=ab,求△ABC的面积.
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