【题目】已知椭圆的离心率为
,且过点
.
(Ⅰ)求椭圆的方程.
(Ⅱ)若,
是椭圆
上两个不同的动点,且使
的角平分线垂直于
轴,试判断直线
的斜率是否为定值?若是,求出该值;若不是,说明理由.
【答案】(1)(2)
【解析】试题分析:(I)由离心率可得关系,再将点
坐标代入,可得
间关系,又
,解方程可得
的值;(II)由
的角平分线总垂直于
轴,可判断直线
的斜率互为相反数,由两直线都过
点,由点斜式可写出直线方程.一一与椭圆方程联立,消去
的值,可得一元二次方程,又
点满足条件,可求得
点的坐标,用
表示.再由斜率公式可得直线
的斜率为定值.
试题解析:
(Ⅰ) 因为椭圆的离心率为
, 且过点
,
所以,
.
因为,
解得,
,
所以椭圆的方程为
.
(Ⅱ)法1:因为的角平分线总垂直于
轴, 所以
与
所在直线关于直线
对
称. 设直线的斜率为
, 则直线
的斜率为
.
所以直线的方程为
,直线
的方程为
.
设点,
,
由消去
,得
. ①
因为点在椭圆
上, 所以
是方程①的一个根, 则
,
所以.
同理.
所以.
又.
所以直线的斜率为
.
所以直线的斜率为定值,该值为
.
法2:设点,
则直线的斜率
, 直线
的斜率
.
因为的角平分线总垂直于
轴, 所以
与
所在直线关于直线
对称.
所以, 即
, ①
因为点在椭圆
上,
所以,②
. ③
由②得, 得
, ④
同理由③得, ⑤
由①④⑤得,
化简得, ⑥
由①得, ⑦
⑥⑦得
.
②③得
,得
.
所以直线的斜率为
为定值.
法3:设直线的方程为
,点
,
则,
直线的斜率
, 直线
的斜率
.
因为的角平分线总垂直于
轴, 所以
与
所在直线关于直线
对称.
所以, 即
,
化简得.
把代入上式, 并化简得
. (*)
由消去
得
, (**)
则,
代入(*)得,
整理得,
所以或
.
若, 可得方程(**)的一个根为
,不合题意.
若时, 合题意.
所以直线的斜率为定值,该值为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数,函数
.
(1)若函数,
的最小值为-16,求实数
的值;
(2)若函数在区间
上是单调减函数,求实数
的取值范围;
(3)当时,不等式
的解集为
,求实数
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某知名品牌汽车深受消费者喜爱,但价格昂贵。某汽车经销商退出三种分期付款方式销售该品牌汽车,并对近期100位采用上述分期付款的客户进行统计分析,得到如下的柱状图。已知从
三种分期付款销售中,该经销商每销售此品牌汽车1辆所获得的利润分别是1万元,2万元,3万元。现甲乙两人从该汽车经销商处,采用上述分期付款方式各购买此品牌汽车一辆。以这100 位客户所采用的分期付款方式的频率代替1位客户采用相应分期付款方式的概率。
(Ⅰ)求甲乙两人采用不同分期付款方式的概率;
(Ⅱ)记(单位:万元)为该汽车经销商从甲乙两人购车中所获得的利润,求
的分布列和期望。
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在四棱锥中,底面
是直角梯形,侧棱
底面
,
垂直于
和
,
,
,
是棱
的中点.
(Ⅰ)求证: 平面
;
(Ⅱ)求平面与平面
所成的二面角的余弦值;
(Ⅲ)设点是直线
上的动点,
与平面
所成的角为
,求
的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数是定义在
上的奇函数.
(1)求的解析式;
(2)证明:函数在定义域上是增函数;
(3)设是否存在正实数
使得函数
在
内的最小值为
?若存在,求出
的值;若存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某项考试按科目A、科目B依次进行,只有当科目A成绩合格时,才可继续参加科目B的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会,两个科目成绩均合格方可获得证书.现某人参加这项考试,科目A每次考试成绩合格的概率均为,科目B每次考试成绩合格的概率均为
.假设各次考试成绩合格与否均互不影响.
(1)求他不需要补考就可获得证书的概率;
(2)在这项考试过程中,假设他不放弃所有的考试机会,记他参加考试的次数为,求
的分布列及数学期望E
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某学校团委组织了“文明出行,爱我中华”的知识竞赛,从参加考试的学生中抽出60名学生,将其成绩(单位:分)整理后,得到如图频率分布直方图(其中分组区间为[40,50),[50,60),…,[90,100]).
(1)求成绩在[70,80)的频率和[70,80)这组在频率分布直方图中的纵坐标a的值;
(2)求这次考试平均分的估计值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设函数f(x)= ,g(x)=a(x+b)(0<a≤1,b≤0).
(1)讨论函数y=f(x)g(x)的奇偶性;
(2)当b=0时,判断函数y= 在(﹣1,1)上的单调性,并说明理由;
(3)设h(x)=|af2(x)﹣ |,若h(x)的最大值为2,求a+b的取值范围.
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