Question

设F为抛物线y²=4x的焦点，A、B为该抛物线上两点，若

FA

+2

FB

=0，则|AB|=

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由于

FA

+2

FB

=0，可得直线经过焦点F（1，0）．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＞x₂）．设直线AB的方程为：
y=k（x-1）．与抛物线的方程联立可得根与系数的关系，再利用向量的坐标运算、焦点弦长公式即可得出．

解答： 解：∵

FA

+2

FB

=0，
∴直线经过焦点F（1，0），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＞x₂）．
设直线AB的方程为：y=k（x-1）．
联立

y=k(x-1) y2=4x

，化为k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
则x₁+x₂=

2k2+4

k2

，x₁x₂=1．
∵

FA

+2

FB

=0，
∴x₁-1+2（x₂-1）=0．
联立

x1+x2= 2k2+4 k2 x1x2=1 x1+2x2=3

，解得x₁=2，x₂=

1

2

，k²=8．
∴|AB|=x₁+x₂+p=

5

2

+2=

9

2

．
故答案为：

9

2

．

点评：本题考查了直线与抛物线相交转化为方程联立可得根与系数的关系、向量的坐标运算、焦点弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．