Question

已知a²+b²+c²=1，若

2

a+

3

b+2c≤|x-1|+|x+m|对任意实数a，b，c，x恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A、[8，+∞）
• B、（-∞，-4]∪[2，+∞）
• C、（-∞，-1]∪[8，+∞）
• D、[2，+∞）

Answer 1

考点：一般形式的柯西不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：由柯西不等式求得|

2

a+

3

b+2c|≤3，可得|x-1|+|x+m|≥3对任意实数x恒成立．再根据|x-1|+|x+m|≥|m+1|，可得|m+1|≥3，由此求得m的范围．

解答： 解：由柯西不等式得，(

2

a+

3

b+2c)2≤(2+3+4)(a2+b2+c2)=9，
即|

2

a+

3

b+2c|≤3，即

2

a+

3

b+2c的最大值为3，当且仅当

a 2 = b 3 = c 2 a2+b2+c2=1

时等号成立．
所以

2

a+

3

b+2c≤|x-1|+|x+m|对任意实数a，b，c，x恒成立等价于|x-1|+|x+m|≥3对任意实数x恒成立．
又因为|x-1|+|x+m|≥|（x-1）-（x+m）|=|m+1|对任意x恒成立，因此有即|m+1|≥3，解得m≥2或m≤-4，
故选：B．

点评：本题主要考查柯西不等式、基本不等式的应用，绝对值三角不等式，属于基础题．