Question

AB为过椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1中心的弦，F（c，0）为它的焦点，则△FAB的最大面积为（　　）

• A、b²
• B、ab
• C、ac
• D、bc

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据题意设A（x₀，y₀），B（-x₀，-y₀），表示出直线AB的方程，求出|AB|，及点F到直线AB的距离，表示出面积S=|y₀|c，所以当|y₀|取最大值b时，△FAB的面积最大，并且最大为bc．

解答： 解：设A（x₀，y₀），则B（-x₀，-y₀），直线AB的方程为：y=

y0

x0

x；
∴|AB|=2

x02+y02

，F到AB的距离为：

|c y0 x0 |

y02 x02 +1

=

c|y0|

y02+x02

；
∴△FAB的面积为：S=

1

2

•2

x02+y02

•

c|y0|

y02+x02

=c|y0|；
∵-b≤y₀≤b，∴|y₀|=b时，S取最大值bc．
故选D．

点评：考查椭圆的几何性质：图形关于原点对称，直线的点斜式方程，点到直线的距离公式，两点间距离公式．