Question

已知函数y=f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（x）＜0（x＞0），试判断F（x）=f²（x）在（0，+∞）上的单调性，并证明．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据已知中函数y=f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（x）＜0，可得当0＜x₁＜x₂时，0＞f（x₁）＞f（x₂），进而根据不等式的性质，可得f²（x₁）＜f²（x₂），结合函数单调性的定义，可得F（x）=f²（x）在（0，+∞）上的单调性．

解答： 证明：F（x）=f²（x）在（0，+∞）上为增函数，理由如下：
设0＜x₁＜x₂，
∵函数y=f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（x）＜0，
∴0＞f（x₁）＞f（x₂），
则f²（x₁）＜f²（x₂），
即F（x₁）＜F（x₂），
故F（x）=f²（x）在（0，+∞）上为增函数．

点评：本题考查的知识点是函数单调性的性质和证明，不等式的基本性质，是函数单调性和不等式的简单综合应用，属于基础题．