Question

设实数x，y 满足x²+y²+xy=1，求x+y的最大值．
题设条件“x²+y²+xy=1”有以下两种等价变形：
①(x+

y

2

)2+(

3

2

y)2=1；
②x²+y²-2xycos120°=1．
请按上述变形提示，用两种不同的方法分别解答原题．

Answer 1

分析：①将已知等式配方得到(x+

y

2

)2+(

3

2

y)2=1，联想到同角三角函数的平方关系，进行三角换元：x+

y

2

=cosα，

3

2

y=sinα，从而得到x+y=cosα+

3

3

sinα，利用辅助角公式化简得x+y=

2 3

3

sin（

π

3

+α），再根据正弦函数的图象与性质加以计算，可得x+y的最大值．
②由已知等式变形得x²+y²-2xycos120°=1，符合余弦定理的表达式，因此设△ABC中，∠A=120°，AB=x，AC=y且BC=1，利用正弦定理列式计算，可得x+y=

2 3

3

(sinB+sinC)，再根据两角和与差的三角函数公式化简，可得x+y=

2 3

3

sin（

π

3

+B），根据B∈（0，

π

3

）利用正弦函数的图象与性质，可算出x+y的最大值．

解答：解：①对于x²+y²+xy=1，配方可得(x+

y

2

)2+(

3

2

y)2=1，
设x+

y

2

=cosα，

3

2

y=sinα，可得x+y=cosα+

3

3

sinα．
∵cosα+

3

3

sinα=

2 3

3

（sin

π

3

cosα+cos

π

3

sinα）=

2 3

3

sin（

π

3

+α），
∴当

π

3

+α=

π

2

+2kπ（k∈Z）时，sin（

π

3

+α）=1达到最大值，
由此可得x+y=cosα+

3

3

sinα的最大值为

2 3

3

；
②设△ABC中，∠A=120°，AB=x，AC=y，BC=1，
由余弦定理得BC²=AB²+AC²-2ABACcos120°，即x²+y²-2xycos120°=1．
化简得x²+y²+xy=1，恰好满足题干中的等式．
由正弦定理

AB

sinC

=

AC

sinB

=

BC

sinA

，得

x

sinC

=

y

sinB

=

1

sin120°

=

2 3

3

，
∴x=

2 3

3

sinC，y=

2 3

3

sinB，
可得x+y=

2 3

3

(sinB+sinC)=

2 3

3

[sinB+sin(

π

3

-B)]
=

2 3

3

(sinB+

3

2

cosB-

1

2

sinB)]=

2 3

3

sin（

π

3

+B），
∵B∈（0，

π

3

），
∴

π

3

+B=

π

2

即B=

π

6

时，x+y=

2 3

3

sin（

π

3

+B）的最大值为

2 3

3

．

点评：本题给出实数x，y 满足x²+y²+xy=1，求x+y的最大值．着重考查了三角换元、三角函数的图象与性质、正余弦定理和函数最值的求法等知识，属于中档题．