Question

【题目】已知函数f（x）=ln+ax﹣1（a≠0）．

（I）求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）已知g（x）+xf（x）=﹣x，若函数g（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求证：g（x1）＜0．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

试题

(Ⅰ)由题意分类讨论可得

a＞0时，函数的单调减区间是，单调增区间是；

a＜0，函数单调递减；

(Ⅱ)由题意可得，结合导函数与原函数的性质和二次函数的性质进行讨论即可证得题中的结论.

试题解析：

（I）解：f（x）=ln+ax﹣1=﹣lnx+ax﹣1，定义域是（0，+∞）

∴f′（x）=．

a＞0时，令f′（x）=0，得x=，0＜x＜，f′（x）＜0，x＞，f′（x）＞0，

∴函数的单调减区间是（0，），单调增区间是（，+∞）；

a＜0，f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，函数单调递减；

（Ⅱ）证明：已知g（x）+xf（x）=﹣x，则g（x）=xlnx﹣ax2，g′（x）=lnx﹣2ax+1，

∵函数g（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），

∴g′（x）在定义域上有两个零点x1，x2（x1＜x2），

∴x1，x2是lnx﹣2ax+1=0的两个根，

∴lnx1﹣2ax1+1=0，

∴g（x1）=，

∵g′（x）=lnx﹣2ax+1，

∴g″（x）=．

a＜0时，g″（x）＞0恒成立，∴g′（x）在（0，+∞）内单调递增，∴g′（x）至多一个零点；

a＞0时，令g″（x）=0得x=，0＜x＜，g″（x）＞0，x＞，g″（x）＜0，

∴g′（x）max=g′（）=ln=﹣ln2a＞0，

∴0＜a＜且0＜x1＜＜x2，

∵g（x1）=，抛物线开口向上，对称轴为x=，

∴g（x1）＜0．