Question

【题目】已知点F1为椭圆1（a＞b＞0）的左焦点，在椭圆上，PF1⊥x轴.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知直线l：y＝kx+m与椭圆交于（1，2），B两点，O为坐标原点，且OA⊥OB，O到直线l的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）是定值，定值为

【解析】

（1）由PF1⊥x轴可得c＝1，即可得椭圆的左右焦点的坐标，由椭圆的定义求出a的值，由a，b，c的关系求出a，b的值，进而求出椭圆的方程；

（2）将直线l与椭圆的方程联立求出两根之积，由OA⊥OB，可得0，可得k，m的关系，求出原点到直线的距离的表达式，可得为定值.

（1）令焦距为2，依题意可得F1（﹣1，0），右焦点F2（1，0），

，所以，

所以椭圆方程为；

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），

由整理可得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，

.

所以y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）＝k2x1x2+km（x1+x2）+m2＝k2kmm2，

由，

得3m2＝2（k2+1），

所以原点O到直线l的距离为，为定值.