Question

【题目】如图，四棱锥中，侧棱垂直于底面，，，为的中点，平行于，平行于面，.

(1)求的长；

(2)求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）取的中点，连接、，由三角形中位线定理，以及线面平行的判定定理可得平行于，平行于，于是可得为平行四边形，所以，；（2）取中点，则垂直于，以点为原点，为轴，为轴，为轴建立坐标系，平面法向量为，利用向量垂直数量积为零，列方程组求得

平面法向量为，平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.

试题解析：(1)取的中点，连接、，

因为平行于，平行于，所以平行于，

所以四点共面，

因为平行于面，面与面交与，所以平行于，

所以为平行四边形.

所以，.

(2取中点，则垂直于，因为平行于，所以垂直于，于是以点为原点，为轴，为轴，为轴建立坐标系，

由垂直于，垂直于，平面法向量为，

通过计算得平面的法向量为.经判断知二面角为钝角，于是其余弦为.

【方法点晴】本题主要考查线面平行的判断与性质、利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.