Question

19．如图，在?ABCD中，点E为边AB的中点，BD与CE交于点P，若$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$（x，y∈R），则2x+y=$\frac{5}{3}$；若点Q是△BCP内部（包括边界）一动点，且$\overrightarrow{AQ}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AD}$（m，n∈R），则m+2n的取值范围为[1，3]．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质可得：DC∥AB，EB=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$DC，利用相似三角形的性质可得可得$EP=\frac{1}{2}PC$=$\frac{1}{3}$EC，再利用向量三角形法则、向量共线定理即可得出．
（2）$\overrightarrow{AQ}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AD}$（m，n∈R）．由（1）可知：取点P时，m=$\frac{2}{3}$，n=$\frac{1}{3}$，m+2n=$\frac{4}{3}$．取点B时，m=1，n=0，m+2n=1．取点C时，m=n=1，m+2n=3．再利用平面向量共线定理、向量共线定理即可得出．

解答 解：（1）∵DC∥AB，EB=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$DC，∴$EP=\frac{1}{2}PC$=$\frac{1}{3}$EC，
∴$\overrightarrow{EP}$=$\frac{1}{3}$$（\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{BC}）$，
又∵$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AE}$+$\overrightarrow{EP}$，$\overrightarrow{EB}$=$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{EC}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{EB}$+$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{BC}$．
∴$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$（\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}）$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$，
∴x=$\frac{2}{3}$，y=$\frac{1}{3}$，
∴2x+y=$\frac{5}{3}$．
（2）$\overrightarrow{AQ}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AD}$（m，n∈R）．
由（1）可知：取点P时，m=$\frac{2}{3}$，n=$\frac{1}{3}$，m+2n=$\frac{4}{3}$．
取点B时，m=1，n=0，m+2n=1．
取点C时，m=n=1，m+2n=3．
点Q在PB线段上时，n∈$[0，\frac{1}{3}]$，m∈$[\frac{2}{3}，1]$，m+2n∈$[1，\frac{4}{3}]$．
点Q在PC线段上时，n∈$[\frac{1}{3}，1]$，m∈$[\frac{2}{3}，1]$，m+2n∈$[\frac{4}{3}，3]$．
点Q在BC线段上时，n∈[0，1]，m∈[0，1]，m+2n∈[1，3]．
综上可得：m+2n∈[1，3]．
故答案分别为：$\frac{5}{3}$；[1，3]．

点评 本题考查了向量三角形法则、平面向量基本定理、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．