Question

已知定义在R上的函数f（x）满足：①函数y=f（x-2）的图象关于直线x=2对称；②f（x+2）=-f（x）；③f（x）在[-2，0]上是增函数．
下列关于f（x）的命题：
①函数f（x）是周期函数；
②函数f（x）的图象关于直线x=2对称；
③函数f（x）在[0，1]上是增函数；
④函数f（x）在[2，4]上是减函数；
⑤f（4）=f（0）．
其中真命题是

①②④⑤

（写出所有正确结论的序号）

Answer 1

分析：根据函数的奇偶性和周期性的定义，可得函数y=f（x）既是偶函数又是周期为4的周期函数，再根据函数周期性、奇偶性和单调性之间的联系，对五个选项逐个加以判断，即可得到正确答案．

解答：解：对于①，根据条件（2），可得f（x+4）=-f（x+2）=f（x），所以函数f（x）的最小正周期是4，故①正确；
对于②，根据条件（1），可得函数y=f（x）的图象关于直线x=0对称，所以函数y=f（x）是偶函数，
结合周期为4，可得f（2+x）=f（x-2）=f（2-x），所以函数f（x）的图象关于直线x=2对称，故②正确；
对于③，因为函数f（x）是偶函数且在[-2，0]上是增函数，所以f（x）在[0，2]上是减函数，则在[0，1]上不是增函数，故③不正确；
对于④，因为函数函数f（x）在[-2，0]上是减函数且最小正周期是4，故函数f（x）在[2，4]上是减函数，得到④正确；
对于⑤，因为函数f（x）最小正周期是4，故f（4）=f（0），得到⑤正确．
故答案为：①②④⑤

点评：本题以命题真假的判断为载体，着重考查函数奇偶性、单调性、周期性和图象的对称性等概念，属于中档题，准确理解函数的性质与表达式之间的内在联系，是解决本题的关键．