Question

已知f（x）=1+log₂x（1≤x≤4），函数g（x）=[f（x）]²+f（x²），
求：（1）函数g（x）的定义域；（2）函数g（x）的值域．

Answer 1

（1）由题意f（x）定义域为{x|1≤x≤4}，
因为1≤x≤4，所以由1≤x²≤4得-2≤x≤-1或1≤x≤2
则f（x²）的定义域为{x|-2≤x≤-1或1≤x≤2}；
而[f（x）]²以的定义域与f（x）定义域相同，为{x|1≤x≤4}
所以，g（x）的定义域为{x|-2≤x≤-1或1≤x≤2}∩{x|1≤x≤4}={x|1≤x≤2}
（2）设log₂x=t，则[f（x）]²=（1+t）²，f（x²）=1+（log₂x²）=1+2log₂x=1+2t
g（x）=t²+2t+1+1+2t=t²+4t+2
因为x∈[1，2]，所以t∈[0，1]
g（x）=t²+4t+2=（t+2）²-2
当t∈[0，1]时g（x）值域为[2，7]