Question

已知f（x）、g（x）都是定义在R上的函数，若存在实数m、n使得h（x）=m•f（x）+n•g（x），则称h（x）为f（x）、g（x）在R上生成的函数．若f（x）=2cos²x-1，g（x）=sinx．
（1）判断函数y=cosx是否为f（x）、g（x）在R上生成的函数，并说明理由；
（2）记l（x）为f（x）、g（x）在R上生成的一个函数，若l(

π

6

)=2，且l（x）的最大值为4，求l（x）．

Answer 1

分析：（1）假设函数y=cosx是f（x）、g（x）在R上生成的函数，则存在实数m、n使得cosx=m（2cos²x-1）+nsinx，令x=0，得1=m+0①，令x=π，得-1=m②由①②进行推导即可判定
（2）由题意可设l（x）=a（2cos²x-1）+bsinx（a，b∈R），则由l(

π

6

)=

1

2

a+

1

2

b=2，可得a+b=4，即l（x）=-2asin²x+（4-a）sinx+a，设t=sinx，则函数l（x）可化为：y=-2at²+（4-a）t+a，t∈[-1，1]，结合函数的性质求解函数的最大值即可

解答：解：（1）函数y=cosx不是f（x）、g（x）在R上生成的函数．
理由：假设函数y=cosx是f（x）、g（x）在R上生成的函数，
则存在实数m、n使得cosx=m（2cos²x-1）+nsinx
令x=0，得1=m+0①
令x=π，得-1=m②
由①②矛盾知：函数y=cosx不是f（x）、g（x）在R上生成的函数
（2）设l（x）=a（2cos²x-1）+bsinx（a，b∈R）
则l(

π

6

)=

1

2

a+

1

2

b=2，∴a+b=4，∴l（x）=-2asin²x+（4-a）sinx+a
设t=sinx，则函数l（x）可化为：y=-2at²+（4-a）t+a，t∈[-1，1]
当a=0时，函数化为：y=4t，t∈[-1，1]
∵当t=1时，y_max=4∴l（x）=4sinx，符合题意
当a＞0时，函数化为：y=-2a(t-

4-a

4a

)2+a+

(4-a)2

8a

当

4-a

4a

≥1时，即0＜a≤

4

5

时
∵当t=1时，y_max=4-2a
∴由4-2a=4得a=0，不符合a＞0舍去
当-1＜

4-a

4a

＜1时，即a＞

4

5

或a＜-

4

3

（舍去）时
∵当t=

4-a

4a

时，ymax=a+

(4-a)2

8a

∴由ymax=a+

(4-a)2

8a

=4，得a=4或a=

4

9

（舍去）
∴b=0∴l（x）=4（2cos²x-1），符合题意
当

4-a

4a

≤-1时，即-

4

3

≤a＜0时，不符合a＞0舍去
当a＜0时，函数y=-2a(t-

4-a

4a

)2+a+

(4-a)2

8a

的对称轴t=

4-a

4a

＜0
∵当t=1时，y_max=4-2a
∴由y_max=4-2a=4得a=0，不符合a＜0舍去
综上所述，l（x）=4sinx或l（x）=4（2cos²x-1）

点评：本题以新定义为载体，主要考查了函数性质的综合应用，解题的关键是灵活利用函数的性质及逻辑推理的能力．