Question

16．直线y=kx与圆（x-2）²+（y+1）²=4相交于A，B两点，若|AB|≥2$\sqrt{3}$，则k的取值范围是$[-\frac{4}{3}，0]$．

Answer 1

分析 由题意求出圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式求出圆心直线y=kx的距离，由直线与圆相交的条件列出不等式求出k的范围，结合条件和弦长公式列出不等式求出k的取值范围．

解答 解：由题意得，圆心坐标（2，-1）、半径r=2，
则圆心到直线y=kx的距离d=$\frac{|2k+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$＜2，解得k＜$\frac{3}{4}$，
∵所截得的弦|AB|≥2$\sqrt{3}$，∴2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{4-（\frac{|2k+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}）^{2}}≥2\sqrt{3}$，
化简得，3k²+4k≤0，解得$-\frac{4}{3}≤k≤0$，
综上可得，k的取值范围是$[-\frac{4}{3}，0]$，
故答案为：$[-\frac{4}{3}，0]$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，弦长公式，以及点到直线的距离公式的应用，属于中档题．