Question

17．已知函数$f（x）=\frac{{{x^2}-6x+4a}}{4x}-lnx$，其中a∈R
（1）若函数f（x）在（0，+∞）单调递增，求实数a的取值范围
（2）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴，求函数f（x）的单调区间与极值．

Answer 1

分析 （1）求得函数的导数，哟偶题意可得f'（x）≥0在（0，+∞）恒成立，即$\frac{1}{4}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$≥0，即有a≤$\frac{{x}^{2}-4x}{4}$，求得右边函数的最小值，即可得到所求范围；
（2）求得导数，求得切线的斜率，解方程可得a，再由导数大于0，可得增区间；导数小于0可得减区间，进而得到极值．

解答 解　（1）对f（x）求导得f′（x）=$\frac{1}{4}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$，
函数f（x）在（0，+∞）单调递增，
∴f'（x）≥0在（0，+∞）恒成立，
即$\frac{1}{4}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$≥0，即有a≤$\frac{{x}^{2}-4x}{4}$，
由$g（x）=\frac{{{x^2}-4x}}{4}=\frac{{{{（x-2）}^2}-4}}{4}≥-1$，
∴a≤-1，即有a的取值范围（-∞，-1]；
（2）对f（x）求导得f′（x）=$\frac{1}{4}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$，
由f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y轴，
可知f′（1）=-$\frac{3}{4}$-a=0，解得a=$-\frac{3}{4}$，
知$f（x）=\frac{x}{4}-\frac{3}{4x}-lnx-\frac{3}{2}$，
则f′（x）=$\frac{{{x^2}-4x+3}}{{4{x^2}}}$，
令f′（x）=0，解得x=1或x=3，

x	（0，1）	1	（1，3）	3	（3，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

由此知f（x）的增区间为（0，1），（3，+∞），减区间为（1，3）；
函数f（x）在x=1时取得极大值f（1）=-2，
f（x）在x=3时取得极小值f（3）=-1-ln3．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值，考查参数分离和二次函数的最值的求法，属于中档题．