Question

已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且2（a²+b²-c²）=3ab；
（1）求sin2

A+B

2

；         
（2）若c=2，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用余弦定理表示出cosC，将已知的等式两边除以2变形后代入表示出的cosC中，化简即可求出cosC的值，然后由三角形的内角和定理得到A+B=π-C，把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式及诱导公式化简得到关于cosC的式子，把cosC的值代入即可求出值；
（2）把c=4代入已知的等式，得到一个关于a与b的关系式，由基本不等式a2+b2≥2ab，求出ab的最大值，然后由cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把ab的最大值及sinC的值代入即可求出三角形ABC面积的最大值．

解答：解：（1）∵a²+b²-c²=

3

2

ab，
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

3

4

，
∵A+B=π-C，
∴sin2

A+B

2

=

1-cos(A+B)

2

=

1+cosC

2

=

7

8

；
（2）∵a²+b²-c²=

3

2

ab，且c=2，
∴a²+b²-4=

3

2

ab，
又a²+b²≥2ab，
∴

3

2

ab≥2ab-4，∴ab≤8，
∵cosC=

3

4

，∴sinC=

1-cos2C

=

1-( 3 4 )2

=

7

4

，
∴S_△ABC=

1

2

absinC≤

7

，当且仅当a=b=2

2

时，△ABC面积取最大值，最大值为

7

．

点评：此题考查了余弦定理，同角三角函数间的基本关系，基本不等式及三角形的面积公式．要求学生熟练掌握三角函数的恒等变换公式，同时注意灵活变换已知的等式，利用整体代入的数学思想解决问题．