Question

【题目】如图，在各棱长均为4的直四棱柱中，底面为菱形， ， 为棱上一点，且.

（1）求证：平面平面；

（2）求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：

(1)利用题意首先证得平面，然后利用面面垂直的判断定理即可证得结论；

(2)利用题意建立空间直角坐标系，然后利用法向量求得二面角的余弦值，最后利用同角三角函数基本关系即可求得二面角的正弦值．

试题解析：

（Ⅰ）证明：∵底面为菱形，∴.

在直四棱柱中， 底面，∴．

∵，∴平面，

又平面，∴平面平面．　

（Ⅱ）解：设与交于点， 与交于点，以为原点， 、、分别为、、轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则， ， ， ，

则， ， .

设为平面的法向量，

则取，则．

设为平面的法向量，

则取，则．

∴，

∴二面角的正弦值为．