Question

（1）已知f（x）=（x-5）⁷+（x-8）⁵=a₀+a₁（x-6）+a₂（x-6）²+…+a₇（x-6）⁷，求a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆+a₇的值．
（2）在二项式(

x

+

3

x

)^的展开式中，各项系数和为A，各二项式系数和为B，且A+B=72，求含(

x

-

3

x

)^2n式中含x

3

2

的项．

Answer 1

分析：（1）令x=7，即可求得a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆+a₇的值．
（2）依题意，4ⁿ+2ⁿ=72，可求得n=3，再利用二项展开式的通项公式即可求得(

x

-

3

x

)6中含x

3

2

的项．

解答：解：（1）∵f（x）=（x-5）⁷+（x-8）⁵=a₀+a₁（x-6）+a₂（x-6）²+…+a₇（x-6）⁷，
∴f（7）=（7-5）⁷+（7-8）⁵=a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆+a₇，
∴a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆+a₇=2⁷-1=128-1=127；
（2）∵A=4ⁿ，B=2ⁿ，A+B=72，
∴4ⁿ+2ⁿ=72，
∴2ⁿ=8或2ⁿ=-9（舍去），
∴n=3．
∴(

x

-

3

x

)2n=(

x

-

3

x

)6，
设(

x

-

3

x

)6的通项为T_r+1，则T_r+1=

C

r 6

•x

6-r

2

•（-3）^r•x^-r=（-3）^r•

C

r 6

•x3-

3r

2

，
令3-

3r

2

=

3

2

得r=1．
∴T₂=-3

C

1 6

•x

3

2

=-18x

3

2

．

点评：本题考查二项式定理的应用，考查二项式系数的性质，考查赋值法的应用，属于中档题．