Question

如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，AB⊥BC，AC=AD=2，BC=CD=1
（Ⅰ）求四面体ABCD的体积；
（Ⅱ）求二面角C-AB-D的平面角的正切值．

Answer 1

分析：法一：几何法，
（Ⅰ）过D作DF⊥AC，垂足为F，由平面ABC⊥平面ACD，由面面垂直的性质，可得DF是四面体ABCD的面ABC上的高；设G为边CD的中点，可得AG⊥CD，计算可得AG与DF的长，进而可得S_△ABC，由棱锥体积公式，计算可得答案；
（Ⅱ）过F作FE⊥AB，垂足为E，连接DE，分析可得∠DEF为二面角C-AB-D的平面角，计算可得EF的长，由（Ⅰ）中DF的值，结合正切的定义，可得答案．
法二：向量法，
（Ⅰ）首先建立坐标系，根据题意，设O是AC的中点，过O作OH⊥AC，交AB与H，过O作OM⊥AC，交AD与M；易知OH⊥OM，因此可以以O为原点，以射线OH、OC、OM为x轴、y轴、z轴，建立空间坐标系O-XYZ，进而可得B、D的坐标；从而可得△ACD边AC的高即棱住的高与底面的面积，计算可得答案；
（Ⅱ）设非零向量

n

=（l，m，n）是平面ABD的法向量，由（Ⅰ）易得向量

n

的坐标，同时易得

k

=（0，0，1）是平面ABC的法向量，由向量的夹角公式可得从而cos＜

n

，

k

＞，进而由同角三角函数的基本关系，可得tan＜

n

，

k

＞，即可得答案．

解答：解：法一
（Ⅰ）如图：过D作DF⊥AC，垂足为F，由平面ABC⊥平面ACD，
可得DF⊥平面ABC，即DF是四面体ABCD的面ABC上的高；
设G为边CD的中点，由AC=AD，可得AG⊥CD，
则AG=

AC2-CG2

=

4- 1 4

=

15

2

；
由S_△ADC=

1

2

AC•DF=

1

2

CD•AG可得，DF=

AG•CD

AC

=

15

4

；
在Rt△ABC中，AB=

AC2-BC2

=

3

，
S_△ABC=

1

2

AB•BC=

3

2

；
故四面体的体积V=

1

3

×S_△ABC×DF=

5

8

；
（Ⅱ）如图，过F作FE⊥AB，垂足为E，连接DE，
由（Ⅰ）知DF⊥平面ABC，由三垂线定理可得DE⊥AB，故∠DEF为二面角C-AB-D的平面角，
在Rt△AFD中，AF=

AD2-DF2

=

4- 15 16

=

7

4

；
在Rt△ABC中，EF∥BC，从而

EF

BC

=

AF

AC

，可得EF=

7

8

；
在Rt△DEF中，tan∠DEF=

DF

EF

=

2 15

7

．
则二面角C-AB-D的平面角的正切值为

2 15

7

．
解法二：（Ⅰ）如图（2）
设O是AC的中点，过O作OH⊥AB，交AB与H，过O作OM⊥AC，交AD与M；
由平面ABC⊥平面ACD，知OH⊥OM，
因此以O为原点，以射线OH、OC、OM为x轴、y轴、z轴，建立空间坐标系O-XYZ，
已知AC=2，故A、C的坐标分别为A（0，-1，0），C（0，1，0）；
设点B的坐标为（x₁，y₁，0），由

AB

⊥

BC

，|

BC

|=1；
有

x  2 1 + y  2 1 =1 x  2 1 +(y1-1)2=1

，
解可得

x1= 3 2 y1= 1 2

或

x1=- 3 2 y1= 1 2

（舍）；
即B的坐标为（

3

2

，

1

2

，0），
又舍D的坐标为（0，y₂，z₂），
由|

CD

|=1，|

AD

|=2，有（y₂-1）²+z₂²=1且（y₂+1）²+z₂²=1；
解可得

y2= 3 4 z2= 15 4

或

y2= 3 4 z2=- 15 4

（舍），
则D的坐标为（0，

3

4

，

15

4

），
从而可得△ACD边AC的高为h=|z₂|=

15

4

又|

AB

|=

3

，|

BC

|=1；
故四面体的体积V=

1

3

×

1

2

×|

AB

|×|

BC

|h=

5

8

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

AB

=（

3

2

，

3

2

，0），

AD

=（0，

7

4

，

15

4

），
设非零向量

n

=（l，m，n）是平面ABD的法向量，则由

n

⊥

AB

可得，

3

2

l+

3

2

m=0，（1）；
由

n

⊥

AD

可得，

7

4

m+

15

4

n=0，（2）；
取m=-1，由（1）（2）可得，l=

3

，n=

7 15

15

，即

n

=（

3

，-1，

7 15

15

）
显然

k

=（0，0，1）是平面ABC的法向量，
从而cos＜

n

，

k

＞=

7 109

109

；
故tan＜

n

，

k

＞=

2 15

7

；
则二面角C-AB-D的平面角的正切值为

2 15

7

．

点评：本题是立体几何综合题目，此类题目一般有两种思路即几何法与向量法，注意把握两种思路的特点，进行选择性的运用．