Question

已知函数f（x）=21nx与g（x）=a²x²+ax+1（a＞0）．
（1）设直线x=l与曲线y=f（x）和y=g（x）分别相交于点P，Q且曲线y=f（x）和y=g（x）在点P，Q处的切线平行，求实数a的值；
（2）f′（x）为f（x）的导函数，若对于任意的x∈（0，+∞），-mx≥0恒成立，求实数m的最大值．

Answer 1

解：（1）∵f′（x）=，∴f′（1）=2，
∵g′（x）=2a²x+a，曲线y=f（x）和y=g（x）在点P，Q处的切线平行，
∴g′（1）=2
∴2a²+a=2
∴a=
∵a＞0，∴；
（2）∵f′（x）=，∴-mx≥0等价于
∵x＞0，∴m≤
构造函数g（x）=，则
当x∈（0，2）时，g′（x）＜0，函数单调减；当x∈（2，+∞）时，g′（x）＞0，函数单调增
∴x=2时，函数g（x）=取得最小值
∴对于任意的x∈（0，+∞），-mx≥0恒成立时，m≤
∴实数m的最大值为．
分析：（1）先求出f′（1），再利用曲线y=f（x）和y=g（x）在点P，Q处的切线平行，可得f′（1）=g′（1），从而可求实数a的值；
（2）先分离参数，再构造函数求最值，即可求得结论．
点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查恒成立问题，解题的关键是分离参数，利用导数确定函数的最值．