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    在△ABC中，O为外心，P是平面内点，且满足
    OA
    +
    OB
    +
    OC
    =
    OP
    ，则P是△ABC的（　　）
    A、外心B、内心C、重心D、垂心
    分析：由题意得 OA=OB=OC，
    OA
    +
    OB
    =2
    OD
    ，故有
    CP
    ⊥AB，P在AB边的高线上． 同理可证，P在BC边的高线上，从而得出结论．
    解答：解：在△ABC中，O为外心，P是平面内点，且满足
    OA
    +
    OB
    +
    OC
    =
    OP
    ，∴OA=OB=OC，
    ∴
    OA
    +
    OB
    =
    OP
    -
    OC
    =
    CP
    ，设AB的中点为D，则OD⊥AB，
    CP
    =2
    OD
    ，
    ∴
    CP
    ⊥AB，∴P在AB边的高线上．
    同理可证，P在BC边的高线上，故P是三角形ABC两高线的交点，
    故P是三角形ABC的垂心，
    故选 D．
    点评：本题考查向量的几何表示，向量的加减法及其几何意义，等腰三角形的性质，三角形的垂心的定义，属于基础题．
    练习册系列答案
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    某同学使用类比推理得到如下结论：
    （1）同一平面内，三条不同的直线a，b，c，若a⊥c，b⊥c，则a∥b，类比出：空间中，三条不同的直线a，b，c，若a⊥c，b⊥c，则a∥b；
    （2）a，b∈R，a-b＞0则a＞b，类比出：a，b∈C，a-b＞0则a＞b；
    （3）以点（0，0）为圆心，r为半径的圆的方程是x2+y2=r2，类比出：以点（0，0，0）为球心，r为半径的球的方程是x2+y2+z2=r2；
    （4）正三角形ABC中，M是BC的中点，O是△ABC外接圆的圆心，则
    AO
    OM
    =2    ，类比出：在正四面体ABCD中，若M是△BCD的三边中线的交点，O为四面体ABCD外接球的球心，则
    AO
    OM
    =3    ．
    其中类比的结论正确的个数是（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在Rt△ABC中，AB=6，AC=8，∠A=90°，若△ABC所在平面α外的一点P到三个顶点A、B、C的距离都为13，点P在α内的射影是O，则线段PO的长为（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在平面上有如下命题“0为直线AB外的一点，则点P在直线AB上的充要条件是：存在实数x，y满足
    op
    =x•
    OA
    +y•
    OB
    ，且x+y=1”，类比此命题，给出在空间中相应的一个正确命题是
    O为平面ABC外一点，则点P在平面ABC上的充要条件是：存在实数x，y，z满足
    OP
    =x
    OA
    +y
    OB
    +z
    OC
    且x+y+z=1．
    O为平面ABC外一点，则点P在平面ABC上的充要条件是：存在实数x，y，z满足
    OP
    =x
    OA
    +y
    OB
    +z
    OC
    且x+y+z=1．
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足
    sinB+sinC
    sinA
    =
    2-cosB-cosC
    cosA
    ．
    （1）证明：b+c=2a；
    （2）如图，点O是△ABC外一点，设∠AOB=θ（0＜θ＜π），OA=2OB=2，当b=c时，求平面四边形OACB面积的最大值．

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    科目：高中数学 来源：2014届安徽省高一下学期期中考试数学试卷（解析版） 题型：解答题

    如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、

    PC的中点．

    （1）求证：EF∥平面PAD；

    （2）求证：EF⊥CD；

    （3）若ÐPDA＝45°求EF与平面ABCD所成的角的大小．

    【解析】本试题主要考查了线面平行和线线垂直的运用，以及线面角的求解的综合运用

    第一问中，利用连AC，设AC中点为O，连OF、OE在△PAC中，∵ F、O分别为PC、AC的中点   ∴ FO∥PA …………①在△ABC中，∵ E、O分别为AB、AC的中点 ∴ EO∥BC ,又         ∵ BC∥AD   ∴ EO∥AD …………②综合①、②可知：平面EFO∥平面PAD∵ EF Ì 平面EFO   ∴ EF∥平面PAD．

    第二问中在矩形ABCD中，∵ EO∥BC，BC⊥CD ∴ EO⊥CD  又    ∵ FO∥PA，PA⊥平面AC  ∴ FO⊥平面AC∴ EO为EF在平面AC内的射影       ∴ CD⊥EF．

    第三问中，若ÐPDA＝45°，则 PA＝AD＝BC    ∵ EOBC，FOPA

    ∴ FO＝EO 又∵ FO⊥平面AC∴ △FOE是直角三角形 ∴ ÐFEO＝45°

    证：连AC，设AC中点为O，连OF、OE（1）在△PAC中，∵ F、O分别为PC、AC的中点∴ FO∥PA …………①    在△ABC中，∵ E、O分别为AB、AC的中点  ∴ EO∥BC ,又         ∵ BC∥AD   ∴ EO∥AD …………②综合①、②可知：平面EFO∥平面PAD    

    ∵ EF Ì 平面EFO      ∴ EF∥平面PAD．

    （2）在矩形ABCD中，∵ EO∥BC，BC⊥CD∴ EO⊥CD  又        ∵ FO∥PA，PA⊥平面AC  ∴ FO⊥平面AC ∴ EO为EF在平面AC内的射影     ∴ CD⊥EF．

    （3）若ÐPDA＝45°，则 PA＝AD＝BC         ∵ EOBC，FOPA

    ∴ FO＝EO 又    ∵ FO⊥平面AC   ∴ △FOE是直角三角形 ∴ ÐFEO＝45°

     

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